Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {a, b, c, d} que produza a linguagem L = {w | w possui abcd ou baba ou dcba como prefixo, abcbc ou badcd ou ccdab como subpalavra e bcca ou cdac ou dabc como sufixo}.
Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:
ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
(sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))
O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:
ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))
ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbc + badcd + ccdab) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))
O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:
ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))
1. A sobreposição do prefixo baba com a subpalavra abcbc resulta na palavra bababcbc:
ER = (bababcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))
2. A sobreposição do prefixo baba com a subpalavra badcd resulta na palavra babadcd:
ER = (babadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))
3. A sobreposição do prefixo dcba com a subpalavra abcbc resulta na palavra dcbabcbc:
ER = (dcbabcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))
4. A sobreposição do prefixo dcba com a subpalavra badcd resulta na palavra dcbadcd:
ER = (dcbadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))
O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:
ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))
1. A sobreposição da subpalavra abcbc com o sufixo bcca resulta na palavra abcbcca:
ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcca)
2. A sobreposição da subpalavra abcbc com o sufixo cdac resulta na palavra abcbcdac:
ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcdac)
3. A sobreposição da subpalavra badcd com o sufixo cdac resulta na palavra badcdac:
ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdac)
4. A sobreposição da subpalavra badcd com o sufixo dabc resulta na palavra badcdabc:
ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdabc)
5. A sobreposição da subpalavra ccdab com o sufixo bcca resulta na palavra ccdabcca:
ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabcca)
6. A sobreposição da subpalavra ccdab com o sufixo dabc resulta na palavra ccdabc:
ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabc)
O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:
ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)
1. A sobreposição do prefixo/subpalavra bababcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcca resulta na palavra bababcbcca:
ER = (bababcbcca)
2. A sobreposição do prefixo/subpalavra bababcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcdac resulta na palavra bababcbcdac:
ER = (bababcbcdac)
3. A sobreposição do prefixo/subpalavra babadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdabc resulta na palavra babadcdabc:
ER = (babadcdabc)
4. A sobreposição do prefixo/subpalavra babadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdac resulta na palavra babadcdac:
ER = (babadcdac)
5. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbabcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcca resulta na palavra dcbabcbcca:
ER = (dcbabcbcca)
6. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbabcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcdac resulta na palavra dcbabcbcdac:
ER = (dcbabcbcdac)
7. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdabc resulta na palavra dcbadcdabc:
ER = (dcbadcdabc)
8. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdac resulta na palavra dcbadcdac:
ER = (dcbadcdac)
Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:
ER = (((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbc + badcd + ccdab) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
(bababcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
(babadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
(dcbabcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
(dcbadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcca) +
((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcdac) +
((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdabc) +
((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdac) +
((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabc) +
((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabcca) +
(bababcbcca) +
(bababcbcdac) +
(babadcdabc) +
(babadcdac) +
(dcbabcbcca) +
(dcbabcbcdac) +
(dcbadcdabc) +
(dcbadcdac))
É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:
ER = (((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbc + badcd + ccdab) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
((bababcbc + babadcd + dcbabcbc + dcbadcd) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbcca + abcbcdac + badcdabc + badcdac + ccdabc + ccdabcca)) +
(bababcbcca + bababcbcdac + babadcdabc + babadcdac + dcbabcbcca + dcbabcbcdac + dcbadcdabc + dcbadcdac))