Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.190

Exercício 05.190

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {x, y, z} que produza a linguagem L = {w | w possui xyz ou yzy ou zyx como prefixo, xxz ou xyy ou xzx como subpalavra e yxx ou yxy ou yzy como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* (xxz + xyy + xzx) (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo zyx com a subpalavra xxz resulta na palavra zyxxz:

ER = (zyxxz (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy))

2. A sobreposição do prefixo zyx com a subpalavra xyy resulta na palavra zyxyy:

ER = (zyxyy (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy))

3. A sobreposição do prefixo zyx com a subpalavra xzx resulta na palavra zyxzx:

ER = (zyxzx (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra xyy com o sufixo yxx resulta na palavra xyyxx:

ER = ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* xyyxx)

2. A sobreposição da subpalavra xyy com o sufixo yxy resulta na palavra xyyxy:

ER = ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* xyyxy)

3. A sobreposição da subpalavra xyy com o sufixo yzy resulta na palavra xyyzy:

ER = ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* xyyzy)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra zyxyy com a sobreposição da subpalavra/sufixo xyyxx resulta na palavra zyxyyxx:

ER = (zyxyyxx)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra zyxyy com a sobreposição da subpalavra/sufixo xyyxy resulta na palavra zyxyyxy:

ER = (zyxyyxy)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra zyxyy com a sobreposição da subpalavra/sufixo xyyzy resulta na palavra zyxyyzy:

ER = (zyxyyzy)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* (xxz + xyy + xzx) (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy)) +
      (zyxxz (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy)) +
      (zyxyy (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy)) +
      (zyxzx (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy)) +
      ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* xyyxx) +
      ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* xyyxy) +
      ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* xyyzy) +
      (zyxyyxx) +
      (zyxyyxy) +
      (zyxyyzy))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* (xxz + xyy + xzx) (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy)) +
      ((zyxxz + zyxyy + zyxzx) (x + y + z)* (yxx + yxy + yzy)) +
      ((xyz + yzy + zyx) (x + y + z)* (xyyxx + xyyxy + xyyzy)) +
      (zyxyyxx + zyxyyxy + zyxyyzy))