Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.162

Exercício 05.162

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {a, b, c} que produza a linguagem L = {w | w possui bbc ou cca como prefixo, cab ou cba como subpalavra e baa ou bcb como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((bbc + cca) (a + b + c)* (cab + cba) (a + b + c)* (baa + bcb))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo bbc com a subpalavra cab resulta na palavra bbcab:

ER = (bbcab (a + b + c)* (baa + bcb))

2. A sobreposição do prefixo bbc com a subpalavra cba resulta na palavra bbcba:

ER = (bbcba (a + b + c)* (baa + bcb))

3. A sobreposição do prefixo cca com a subpalavra cab resulta na palavra ccab:

ER = (ccab (a + b + c)* (baa + bcb))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra cab com o sufixo baa resulta na palavra cabaa:

ER = ((bbc + cca) (a + b + c)* cabaa)

2. A sobreposição da subpalavra cab com o sufixo bcb resulta na palavra cabcb:

ER = ((bbc + cca) (a + b + c)* cabcb)

3. A sobreposição da subpalavra cba com o sufixo baa resulta na palavra cbaa:

ER = ((bbc + cca) (a + b + c)* cbaa)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra bbcab com a sobreposição da subpalavra/sufixo cabaa resulta na palavra bbcabaa:

ER = (bbcabaa)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra bbcab com a sobreposição da subpalavra/sufixo cabcb resulta na palavra bbcabcb:

ER = (bbcabcb)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra bbcba com a sobreposição da subpalavra/sufixo cbaa resulta na palavra bbcbaa:

ER = (bbcbaa)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra ccab com a sobreposição da subpalavra/sufixo cabaa resulta na palavra ccabaa:

ER = (ccabaa)

5. A sobreposição do prefixo/subpalavra ccab com a sobreposição da subpalavra/sufixo cabcb resulta na palavra ccabcb:

ER = (ccabcb)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((bbc + cca) (a + b + c)* (cab + cba) (a + b + c)* (baa + bcb)) +
      (bbcab (a + b + c)* (baa + bcb)) +
      (bbcba (a + b + c)* (baa + bcb)) +
      (ccab (a + b + c)* (baa + bcb)) +
      ((bbc + cca) (a + b + c)* cabaa) +
      ((bbc + cca) (a + b + c)* cabcb) +
      ((bbc + cca) (a + b + c)* cbaa) +
      (bbcabaa) +
      (bbcabcb) +
      (bbcbaa) +
      (ccabaa) +
      (ccabcb))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((bbc + cca) (a + b + c)* (cab + cba) (a + b + c)* (baa + bcb)) +
      ((bbcab + bbcba + ccab) (a + b + c)* (baa + bcb)) +
      ((bbc + cca) (a + b + c)* (cabaa + cabcb + cbaa)) +
      (bbcabaa + bbcabcb + bbcbaa + ccabaa + ccabcb))