Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.150

Exercício 05.150

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {a, b, c} que produza a linguagem L = {w | w possui bac ou cbc como prefixo, bca ou caa como subpalavra e abc ou cac como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((bac + cbc) (a + b + c)* (bca + caa) (a + b + c)* (abc + cac))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo bac com a subpalavra caa resulta na palavra bacaa:

ER = (bacaa (a + b + c)* (abc + cac))

2. A sobreposição do prefixo cbc com a subpalavra bca resulta na palavra cbca:

ER = (cbca (a + b + c)* (abc + cac))

3. A sobreposição do prefixo cbc com a subpalavra caa resulta na palavra cbcaa:

ER = (cbcaa (a + b + c)* (abc + cac))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra bca com o sufixo abc resulta na palavra bcabc:

ER = ((bac + cbc) (a + b + c)* bcabc)

2. A sobreposição da subpalavra bca com o sufixo cac resulta na palavra bcac:

ER = ((bac + cbc) (a + b + c)* bcac)

3. A sobreposição da subpalavra caa com o sufixo abc resulta na palavra caabc:

ER = ((bac + cbc) (a + b + c)* caabc)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra bacaa com a sobreposição da subpalavra/sufixo caabc resulta na palavra bacaabc:

ER = (bacaabc)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra cbca com a sobreposição da subpalavra/sufixo bcabc resulta na palavra cbcabc:

ER = (cbcabc)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra cbca com a sobreposição da subpalavra/sufixo bcac resulta na palavra cbcac:

ER = (cbcac)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra cbcaa com a sobreposição da subpalavra/sufixo caabc resulta na palavra cbcaabc:

ER = (cbcaabc)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((bac + cbc) (a + b + c)* (bca + caa) (a + b + c)* (abc + cac)) +
      (bacaa (a + b + c)* (abc + cac)) +
      (cbca (a + b + c)* (abc + cac)) +
      (cbcaa (a + b + c)* (abc + cac)) +
      ((bac + cbc) (a + b + c)* bcabc) +
      ((bac + cbc) (a + b + c)* bcac) +
      ((bac + cbc) (a + b + c)* caabc) +
      (bacaabc) +
      (cbcaabc) +
      (cbcabc) +
      (cbcac))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((bac + cbc) (a + b + c)* (bca + caa) (a + b + c)* (abc + cac)) +
      ((bacaa + cbca + cbcaa) (a + b + c)* (abc + cac)) +
      ((bac + cbc) (a + b + c)* (bcabc + bcac + caabc)) +
      (bacaabc + cbcaabc + cbcabc + cbcac))