Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.135

Exercício 05.135

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {i, j, k} que produza a linguagem L = {w | w possui jji ou kij como prefixo, ikj ou jij como subpalavra e ijk ou kjk como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((jji + kij) (i + j + k)* (ikj + jij) (i + j + k)* (ijk + kjk))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo jji com a subpalavra ikj resulta na palavra jjikj:

ER = (jjikj (i + j + k)* (ijk + kjk))

2. A sobreposição do prefixo jji com a subpalavra jij resulta na palavra jjij:

ER = (jjij (i + j + k)* (ijk + kjk))

3. A sobreposição do prefixo kij com a subpalavra jij resulta na palavra kijij:

ER = (kijij (i + j + k)* (ijk + kjk))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra ikj com o sufixo kjk resulta na palavra ikjk:

ER = ((jji + kij) (i + j + k)* ikjk)

2. A sobreposição da subpalavra jij com o sufixo ijk resulta na palavra jijk:

ER = ((jji + kij) (i + j + k)* jijk)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra jjij com a sobreposição da subpalavra/sufixo jijk resulta na palavra jjijk:

ER = (jjijk)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra jjikj com a sobreposição da subpalavra/sufixo ikjk resulta na palavra jjikjk:

ER = (jjikjk)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra kijij com a sobreposição da subpalavra/sufixo jijk resulta na palavra kijijk:

ER = (kijijk)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((jji + kij) (i + j + k)* (ikj + jij) (i + j + k)* (ijk + kjk)) +
      (jjij (i + j + k)* (ijk + kjk)) +
      (jjikj (i + j + k)* (ijk + kjk)) +
      (kijij (i + j + k)* (ijk + kjk)) +
      ((jji + kij) (i + j + k)* ikjk) +
      ((jji + kij) (i + j + k)* jijk) +
      (jjijk) +
      (jjikjk) +
      (kijijk))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((jji + kij) (i + j + k)* (ikj + jij) (i + j + k)* (ijk + kjk)) +
      ((jjij + jjikj + kijij) (i + j + k)* (ijk + kjk)) +
      ((jji + kij) (i + j + k)* (ikjk + jijk)) +
      (jjijk + jjikjk + kijijk))