Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
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Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.123

Exercício 05.123

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {a, b, c, d} que produza a linguagem L = {w | w possui bca ou dac como prefixo, bab ou dbc como subpalavra e cac ou cba como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((bca + dac) (a + b + c + d)* (bab + dbc) (a + b + c + d)* (cac + cba))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

No problema em questão, não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, de modo que o presente caso não se aplica.

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra dbc com o sufixo cac resulta na palavra dbcac:

ER = ((bca + dac) (a + b + c + d)* dbcac)

2. A sobreposição da subpalavra dbc com o sufixo cba resulta na palavra dbcba:

ER = ((bca + dac) (a + b + c + d)* dbcba)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

No problema em questão, não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, de modo que o presente caso não se aplica.

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((bca + dac) (a + b + c + d)* (bab + dbc) (a + b + c + d)* (cac + cba)) +
      ((bca + dac) (a + b + c + d)* dbcac) +
      ((bca + dac) (a + b + c + d)* dbcba))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((bca + dac) (a + b + c + d)* (bab + dbc) (a + b + c + d)* (cac + cba)) +
      ((bca + dac) (a + b + c + d)* (dbcac + dbcba)))